Анотация: | Математика изучает процессы, происходящие в реальном мире, с помощью математических моделей этих процессов. При развитии науки и техники математические модели реального мира усложняются. Многие физические процессы, связанные с неравномерными переходами, описываются уравнениями с большими или малыми параметрами. Возникающие при их исследовании трудности можно преодолеть с помощью асимптотического анализа исследуемой задачи, проводимого на основе методов построения разложений по параметрам для решения задачи. Когда исследуемый процесс описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при старших производных, то такие уравнения называются сингулярно возмущенными. Такие задачи возникают естественным образом там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим. Асимптотический анализ для некоторых классов сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУ в ЧП) имеет развитую теорию. Ранее была создана теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных краевых задач для ОДУ – линейных и нелинейных, для линейных уравнений в частных производных и для некоторых линейных операторных уравнений. Основным содержанием излагаемой теории являются метод регуляризации сингулярных возмущений. Например: в задачах, связанных с решением уравнений Навье-Стокса при малой вязкости, эти неравномерности создают зону пограничного слоя. Без тщательного асимптотического анализа трудно создать математическую теорию пограничного слоя или вести численный счет сингулярно возмущенных задач. |
